设f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,f`(x)严格增加，则f(x)/x严格增加。

证明：
设：
g(x)=f(x)/x,证明其严格增加，只要证
g'(x)=(xf'(x)-f(x)/xx > 0 严格成立

已知对任意在[0,+∞)上的x，
f(x)-f(0) = 定积分(0到x)f(t)dt
f'(t)严格增
则对于0<t<x的t有f'(t)<f'(x)
上式
f(x)-0 < 定积分(0到x)f'(x)dt = f'(x)x
=>
xf'(x)-f(x)对任意x>0成立，所以g(x)>0成立
则f(x)/x严格增加

记F(x)=f(x)/x。则F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2
要证F严格增加，只要证F’>0，即证f'(x)>f(x)/x
而根据已知和中值定理知f(x)/x=(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(k)<f'(x)
其中k是区间(0,x)之中的某数
故命题得证